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案例

不等式与数列(苏卫军)

来源: 发布时间:2018-11-23 16:58 浏览次数: 【字体:

 

1  知识内容

    不等式部分,主要内容有一元二次不等式的解法,不等式比较大小的方法:作差法、作商法等,不等式的基本性质和应用,含参一元二次不等式问题,基本不等式及其应用等.

    数列部分,主要内容有数列求和与通项的常见方法,如基本公式法、迭加法、迭乘法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等,以及数列与数列不等式综合问题等.

2  命题分析

纵观近五年浙江高考试卷,有如下特点

不等式部分:1一元二次不等式的解法,几乎年年考.如:2010年第1题,2012年第1题,2013年第2题,2014年第1、15题,2015年第1题等.2含参不等式恒成立问题,考查的难度较大.如:2012年第17题.3不等式比较大小问题,重点放在考查作差比较法.如:2011年第7题.4)对基本不等式的考查,题目求解方法灵活多样.如:2011年第16题,此题的经典求解方法至少有3种.5)以函数和数列等为载体考查不等式问题,上升为热点.如2010年第15题,2012年第9题,2015年第3题,2015年第18题,2015年第20题等.

数列部分:1)等差、等比数列的通项与求和问题,成为必考点.如:2010年第3题,2011年第19题,2012年第7、13题,2013年第18题,2014年第19题,2015第3题等.2)数列求和“裂项相消法”等成为重点考查的方法.如:2011年第19题,2014年第19题等.3)数列不等式问题成为压轴题的新模式.如:2015年第20题.

3  典题剖析

考点1  不等式的性质

例1  1)已知,则不可能为                        (    )

                                 

2)已知,则的大小关系是:                

分析  1)由于所求为,故应把题目条件中的消去,再代入不等式求解即可.首先易得,且 ,代入,解得,故选D.

2)采用作差比较法,因为

.

考点2  含参一元二次不等式有关问题

例2  已知函数,若存在使同时成立,求实数的取值范围是     

分析  此题考查分类讨论的数学思想,以及一元二次函数图象的应用.题目包含的可能情况比较多,故必须确定合理的分类标准,从而进行有效讨论.讨论如下:

不妨设的两根为的两根为

①若,即时, ,故,即

②若,即时,则须满足:

,无解!

解得

综上:,即

例3  设关于的不等式的解集分别为,若,则实数的取值范围为     

分析  此题有同学可能会采用先求根再代入计算的方法来求解,实际上,这样的操作相当麻烦,解题过程会遇到很大的困难.故需要先对题目进行等价转化,寻求最佳策略.具体如下:(先参变量分离,再数形结合)

2c6b4e59cc624ed3842b8a6b8be0c7e5.Png,由

,令

在同一坐标系中作出的图象并比较

位置可得:

变式  不等式恒成立,则实数的取值范围是      

分析  先分离参变量,再转化为函数的最值问题即可,

考点3  基本不等式及其应用

例4  为实数,若x2+y2的最小值      .

 分析  此题改编自浙江省2011年高考数学理科第16题,原题所求为的最大值,方法较多,比较典型的方法有二:一是先配方再基本不等式法,二是换元判别式法(具体过程略).此题比较典型的方法有以下三种:

  解法1  (待定系数)令,由

解出,再求出最小值为.

解法2  (常数1的代换,齐次式换元

x2+y2=m,则,令,再去分母用判别式法可求得的最小值为.

解法3 x2+y2,故,代入整理得:

,进一步可求得的最小值为.

例5  1)若,则的最小值为   (    )

             

2)已知,则的最小值为    .

3)已知,则的最大值为        ,最小值为          .

分析  这三个题目均为三变元求最值问题.一般而言,化三变元为双变元是最基本的想法.当然,如何化为双变元就要因题而异了,如果已知条件是三元一次方程,那只要直接移项换元即可.但如果是三元二次结构,则需考虑其他办法.具体如下:

1)注意到

,当且仅当时等号成立.选D

 2) 原式可化为,即

(常数“1”的代换)

当且仅当时等号成立.综上:最小值为

3)一方面,,当时等号成立,

另一方面,注意到,故

当且仅当时等号成立,所以最大值为1,最小值.

考点4  数列求和与通项问题

例6  在数列中,已知.

1)      .

2)      .

分析  求通项公式通常有两种方法,一种是特殊化,即先计算前面几项的值,然后猜测通项.但猜测也有局限性,一是可能猜错,即前几项的规律不一定符合所有项;二是可能猜不出,即前几项的规律并不明显.这就需要掌握求通项问题的一般方法.

1),同除以可得:

迭加可求得

2),同除以可得:

,迭加可求得

例7  已知数列的通项 ,则实数等于                                    (    

A             B             C            D

分析  此题是浙江省2015年高中数学竞赛选择题第6题,从反馈来看此题得分率很低,究其原因是考生没有分析透彻条件中的分式结构,其实对此结构求和首先应想到裂项相消法.

,所以

,经检验只有符合题意.答案:D

考点5  数列不等式问题

例8  1)数列中:=1,的最小值为______.

2)数列中:求证:


3)数列中:,求证:

分析 1)可化为,归纳得,因为

考虑,检验知的最小值为8.

2)易知

又∵,,

3)退位相减可得:所以就有


例9  设数列满足:

1)设()是数列的连续三项,求证:不可能为等比数列.

   2)  当 时,求证:

分析 1)易知恒成立,且为递增数列,,故,即任意的连续三项不可能为等比数列.

2)由于

,即

,一方面,

另一方面,

方法1  由于,且,故,由数学归纳法易得成立,故综上可知,原不等式成立.

方法2  由于,所以,后同方法1.

例10  已知数列满足,.

1)猜想数列的单调性,并证明你的结论;

2)证明:.

分析  1)可求出,由猜想:数列是递减数列.

下面用数学归纳法证明:

当n=1时,已证命题成立    

假设当n=k时命题成立,即,以下证明

方法1  (作差法)易知

那么

                =

也就是说,当n=k+1时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立

方法2  (函数的单调性法)

因为函数上为减函数,故,即,同理可得:,由数学归纳法知,命题成立.

2)当n=1时,,结论成立

时,易知



例11  已知数列满足,设.

1)求证:

2)为数列的前项和.求证.

分析  1)因为所以

所以数列递减,.

所以.

.

2)由2)知.

    所以

    且所以.

因此,

.

4  精题集萃

1.为正实数,”是“”的                          (    )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件  C.充分必要条件     D.既不充分也不必要条件 

2.,若,则下列关系式中正确的是                                                            )

A.            B.            C.            D.

3.,且点在过点的直线上,则的最大值是                                                                    (    ) 

 A.         B.         C.          D.

4.若关于的不等式的解集为,则的最大值为:      

5.已知,则的取值范围是:        

6.已知,求证:.

7.在数1和100之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记作,再令.

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)设求数列的前项和.(2011高考 安徽)

 

8..已知数列

记:

求证:当时,(;    (;     (

(2008高考 浙江)

 

 

参考答案

1.B

2.C

3.C

4.5

5.

6.提示:,可证原不等式成立.

7.1) 

2)提示:利用正切公式

8.1)提示:数学归纳法证明

2迭加得.由,所以

3),得

所以,所以

 

 

 

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